数学史¶
Chapter 1: 数学的起源与中东文明¶
Quote
“当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西，数学就诞生了。”—— 伯特兰·罗素
计数出现在文字之前¶
- 最初的计数方法是相似的，如掰手指数羊
三种计数方法
- 石子（物品）计数
- 结绳计数
- 刻痕计数
文字留下的最早的计数出现在《荷马史诗·奥德赛》，内容为盲老人用捡石子、扔石子分别为放羊计数。
野蛮的计数：美洲印第安人通过搜集被杀者头皮来统计他们杀敌的数目。乞力马扎罗山上的游牧民族少女习惯用脖子上铜环的数量表示年龄。
浪漫的计数：英国酒保用粉笔记录客人饮酒的杯数，而西班牙酒保往客人帽子里投小石子。
形容“两个”的英语多样性
- Team of horses
- Yoke of oxen
- Span of mules
- Brace of dogs
- Pair of shoes
回看开头的罗素名言，其本质上是对数“2”的抽象。
数基和进制¶
二进制： - 澳洲北部昆士兰州原住民 - 非洲矮人部落
十二进制： - 英语
二十进制（一双手+一双脚）： - 法语（80 quatrevingts = 4 quatre * 20 vingt） - 玛雅人
有鞋子穿之后二十进制被十进制取代（笑）
十进制（一双手），英语中“digit”原义为手指或脚趾。
Quote
“十进制被广泛采纳，只不过是由于我们绝大多数人生来具有 10 个手指这样一个解剖学的事实。”—— 亚里士多德
斐波那契数列，六十进制¶
- 印度数码
印度人发明书写体系，阿拉伯数字是印度人发明，但是没有“零”这个符号。
阿拉伯数字是随阿拉伯人远征传入北非和西班牙。在外游历的意大利人斐波那契受教于西班牙的穆斯林数学家，将阿拉伯数字带回故乡。
形与几何学¶
人类最初对于几何的知识来源于对形的直观感觉。
斜边、弦：Hypotenus（拉紧） 直角边：Arms（手臂）
- 勾（小腿）、股（大腿）
这些都是对自己身体的观察。
西安半坡出土的陶器残片上可以看到完整的全等三角形。
埃及，几何学¶
几何学发展的历史因素：尼罗河汛期冲毁国王册封的土地，需要重新测量，计算损失，然后按比例减税。
- 纸草书上的数学
- 莱茵德纸草书
- 莫斯科纸草书
其中记载的： - 求任意四边形公式 \(\(S = \frac{(a+b)(c+d)}{4}\)\) - 圆周率：3.1605 - 棱台体积计算（相当高水平）\(\(V = \frac{h}{3}(a^2+ab+b^2)\)\) “最伟大的金字塔”—— E.T. 贝尔
埃及分数¶
石器时代，整数够用；进入青铜时代，分数需要被使用。
古埃及人喜欢用单位分数，即形如 \(1/n\) 的分数。他们喜欢把任意分数表示为若干单位分数的和。尽管这其实用起来很不方便，但是现代数学家中抽象出数学问题：埃及分数（Egyptian Fractions）问题。这个问题讨论下列方程的正整数解：
$$ \frac{4}{n} = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_k} $$ - 爱多士猜想：\(k = 3\) 时，对 \(\forall n>1\) 均有解 - 莫德尔猜想：除了 \(n \equiv 1, 11^1,13^2,17^2,19^2,23^2(\mod 804)\) 之外，均有解 - 有人：\(n < 10^{8}\) 成立
席宾斯基：将“4”改为“5”，后人证明 \(n< 10^{9}\) 或者 \(n \ne 278460k + 1\) 时，猜测为真。
两河流域：巴比伦尼亚¶
巴比伦曾三次达到人类文明顶峰。
-
印章与圆柱体
-
楔形文字（方块文字）
-
别出心裁地采用了六十进制
-
古巴比伦人把一天分为 24 小时，每个小时 60 分钟，每分钟 60 小时。
-
泥板文书
- 学会通过迭代计算开方
古巴比伦流传的开方计算方法
假设要求 \(\sqrt{a}\)，取近似值 \(a_1\)，\(b_1=a/a_1\)， \(a_2=(a_1+b_1)/2\)，\(b_2=a/a_2\)， \(a_3=(a_2+b_2)/2\)，.........
- 记载了针对 \(x^2-px+q = 0\) 的韦达公式（巴比伦公式）
古巴比伦人对数学除了实用目的之外，还有理论上的兴趣。
-
普林顿 322 号：记录了勾股数（毕达哥拉斯数组）
-
数之根：一个数的不同质因子的乘积，记为 \(rad(a)\)
abc 猜想
对于任意实数，存在正常数使得对正整数 \(a,b,c,a+b=c\)，恒有
弱形式：\(c<(rad(abc))^2\)，用于 4 项菲尔兹奖的证明，包括费马大定理。
结语¶
Quote
“最古典的也是最现代的。”—— 庞德
无论是埃及还是巴比伦，都凝聚着数学的智慧和光芒。
数学和天文被用于计算历法和航海之前，人类受本能驱使地观察太阳、月亮和星星的运行。古埃及人知道一年有 365 天，了解掌握季节变化、太阳方位和角度，预计尼罗河水泛滥的时间，通过星星位置和方向确定航船方向。
人类的需要和兴趣激发了数学灵感和潜能，恰好自然界本身就具有数学规律供人类发现。数学不仅来源于人们的生存需要，最终还是要返回到世界中去。
Chapter 2: 希腊先哲¶
Quote
“数学只是唯一好的形而上学。”—— （英）开尔文勋爵
技术是人类历史上的一种普遍文化现象，各个民族都有自己的一套发展历史。但是科学不一样。
作为游牧民族，希腊人是外来的民族，没有产生自己的文明，而是在废墟上重建文明。
宗教因素约束智力的大胆发挥（罗素），希腊没有这样的意识形态。他们勇于开拓，不愿因袭传统，如使用腓尼基字母。
论证的开端¶
东方以经验为依据，能够自信回答“如何”，但无法回答“为什么”。
-
艺术家乔托：在作品上留名的开始，标志着艺术史成为艺术家的历史
-
泰勒斯定理：直径所对圆周角为直角
泰勒斯的其他发现：
- 圆直径将圆分为相等的两个部分
- 等腰三角形两底角相等
- 两条相交直线的对顶角相等
- 全等三角形 ASA 情况
- （泰勒斯定理）
泰勒斯同时也是希腊哲学鼻祖，提出万物的源头是水。除了这两个领域，还涉及物理学、工程。预测日食，发现摩擦起电。
毕达哥拉斯¶
毕达哥拉斯认为，最底层的人是商人，其次是参加（奥林匹克）竞赛的人，最高是旁观者，即学者或哲学家。
毕达哥拉斯学派的数学成就： - 毕达哥拉斯定理（巴比伦和中国人发现，毕达哥拉斯第一个给出证明） - 特殊数（组）的发现：完美数（本身等于真因子之和）、友好数…… - 正多面体作图 - 黄金分割 - \(\sqrt{2}\) 的无理性
音乐方面，发现音程之间的数的关系（长度减半，高八度；长度缩短到 2/3，第四音）。毕达哥拉斯在中世纪时被视为“四艺”（算术、几何、音乐、天文）的鼻祖。
-
“万物皆数”
-
哥白尼“日心说”（自认为是毕达哥拉斯哲学体系）
- 伽利略（被称为毕达哥拉斯主义者）
- 莱布尼茨（自称毕达哥拉斯最后一位传人）
柏拉图学园¶
波希战争之后，希腊数学和哲学走向繁荣，产生许多学派。
- 伊利亚学派（第一个著名的学派）
- 巴门尼德：形而上学的创立者，引入理性证明的方法作为论断的基础。
- 芝诺的悖论：
- 二分说。运动不存在，因为在到达目的地之前必须到达一半之处。
- 阿喀琉斯追龟。永远追不上，因为必须先到达乌龟的出发点。
- 飞箭静止说。移动的物体总是“现在”占有一个空间，那么飞驰的箭也是不动的。
- 运动场。空间和时间并非由不可分割的单元组成。 前两个针对事物无限可分的观点，后两个蕴含不可分无限小量的思想。
苏格拉底、柏拉图、亚里士多德
- 苏格拉底
逻辑学上贡献，归纳法和一般定义法；对柏拉图有深远影响
- 柏拉图
创办了一所颇似现代私立大学的学园（Academy）；作为哲学家，柏拉图对欧洲哲学乃至整个文化、社会的发展有着深远影响。
Note
- 《雅典学派》
虽然柏拉图本人没有在数学研究方面做出突出贡献，但是柏拉图学园却是那个时代希腊数学活动中心，如一般整数的平方根或高次方根的无理性研究，正八面体和正二十面体的构造，圆锥曲线和穷竭法的发明。欧几里得早年也在柏拉图攻读几何学。
演绎推理在学园中盛行。严格限定尺规作图。
几何学是柏拉图极推崇的学问，他对仅有的五种正多面体（正四面体、正八面体、正六面体、正十二面体、正二十面体）的特征和作图有过系统的阐述，这五种正多面体也称为“柏拉图多面体”。
“不懂几何学的人请勿入内”
- 亚里士多德
主要对生物学和历史学感兴趣，但在学园 20 年内，受柏拉图数学思想的熏陶。
亚里士多德对定义做了更加细致的讨论，研究数学推理的基本原理，区分公理和公设。
将数学推理规范化，系统化，其中最重要的是矛盾律和排他律；创立形式逻辑，俗称三段论。
统计学鼻祖，对城邦信息做比较分析，至今 statistic 还保留 state 的词根
《诗学》，基于对三维空间的形象模仿。
亚历山大学派¶
亚历山大远征归来，暴病身亡，帝国一分为三。托勒密统治埃及，定都亚历山大，建立著名的亚历山大大学。
- 欧几里得《几何原本》
《原本》为欧几里得在亚历山大期间完成。将已知的材料做了整理和系统的阐述，在逻辑上保持一致，因此欧几里得被公认为古希腊几何学的集大成者。
受柏拉图“终极实在的抽象本性和数学对于训练哲学思维的重要性”影响，将理论从实际需要中分离出来。
从定义、公设和公理出发，将点定义为没有部分的东西，线为没有宽度的长度，直线是其上各点无曲折排列的线
欧几里得算法（辗转相除法）求最大公约数
- 阿基米德
慕名来到亚历山大大学。
数学史上最高产的人。
几何学方面，擅长求面积、体积。把穷竭法用于计算圆的周长，得到圆周率“约率” \(\frac{22}{7} \approx 3.14\)。类似方法证明球表面积公式。
发明了一种平衡法，蕴含极限思想，借助杠杆原理，是近代积分学里微元法的雏形。如球体积公式。
阿基米德是应用数学家。
浮体定律
- 其他数学家
阿波罗尼奥斯（Apollonius）：《圆锥曲线论》
海伦：海伦公式（其实是阿基米德首先发现）
托勒密：用六十进制算出 \(\pi\) 的估计值 \(\frac{377}{120} \approx 3.1416\)，托勒密定理（圆内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两对边长乘积之和）
特点：突破前期围绕几何学的传统，使算术和代数成为独立的学科。
数论领域代表作：丢番图《算术》
埃拉托色尼：埃拉托色尼筛法，划分气候带
总结¶
希腊数学的显著特点
- 高度的抽象和演绎精神
- 与哲学关系非常密切
数学对希腊人有着美丽的吸引力，才使他们坚持探索那些超出理解自然所需要的数学定理和法则。
希腊人是天生的哲学家，热爱理性。从泰勒斯到柏拉图去世，是数学和哲学的第一个蜜月期。希腊哲学的一个显著特点就是把整个宇宙作为研究对象，也就是说，哲学包罗万象。这与数学发展处于初级阶段相关，数学家只能讨论简单的几何学和算术，无法解释运动和变化，他们只好以哲学家的身份进行解释。
希腊被马其顿统治后，数学中心转移到亚历山大城，蜜月期随之结束。但这一结合还是催生了《几何原本》。《原本》不仅贡献了一系列美妙定理，还孕育一种理性的精神，后人从中学会了进行无懈可击的推理。
希腊文明衰落之后，数学和哲学便渐行渐远。直到 17 世纪微积分学诞生，哲学和数学再次靠近，但彼时哲学的研究目标已经缩小为“人怎样认识世界”。
Quote
（直到 16 世纪）“意大利人文主义思想强调了毕达哥拉斯和柏拉图的数学传统，世界的数字结构再次受到重视，并取代了曾使之黯然失色的亚里士多德传统。”—— 罗素
Chapter 3: 中世纪的中国¶
Quote
“可以肯定的是，中国（古代）科学所达到的境界是达·芬奇式的，而不是伽利略式的。”—— 李约瑟
引子¶
- 先秦时期
塔里木盆地和幼发拉底河之间地形复杂，远古时代不存在任何迁徙的可能，所以中国的学术几乎是独立发展的。然而同样在殷商时期就发展出了完整的十进制，最迟在春秋战国，就已出现严格的算筹计数，具体有横式和纵式两种。
最早记载关于“形”的记载出现在司马迁《史记》中：“（夏禹治水）左规矩，右准绳”。这是几何学的早期应用。
先秦时期百家争鸣，也是盛产哲学家的年代。墨家《墨经》讨论了形式逻辑，甚至涉及无穷的概念。
《庄子》记载了名家代表人物惠子“至大无外，谓之大一。至小无内，谓之小一”的命题。
- 四大圣人：孔、墨、庄、惠
但是始皇统一六国后焚书坑儒，结束百家争鸣；汉武时期独尊儒术，名墨著作中的数学论证思想被灭。不过社会稳定，对外开放，经济空前繁荣，带动数学在实用和算法方向发展。
- 《周髀算经》：中国最古老的数学著作
《周髀算经》成书年代无法考证，作者不详。其中两个最重要的定理，一个是勾股定理，即关于直角三角形的毕达哥拉斯定理，同时以对话形式讨论了勾股定理的特例商高定理（“勾广三，股修四，径五”），而对于一般形式，则是从天文测量中总结出来；另一个是日高公式。
公元 3 世纪，赵爽（三国·东吴）证明勾股定理。
赵爽弦图
- 《九章算术》 一般认为，《九章》成书于西汉后期，彼时正处于数学高峰的上升阶段，而《周髀算经》成书更早。
问题集的形式
《九章》精华：方程术（消元法）
正负术（正负数的加减运算法则），开方术（认识到负数和无理数，但是没有认真对待），圆周率 3（几何方面有不足）
割圆术到孙子定理¶
魏晋南北朝，思辨之风盛行。
- 刘徽
用几何图形分割后重新拼合（出入相补法）等方法验证了《九章算术》中各种图形计算公式的正确性，开创了中国古代史上对数学命题进行逻辑证明的范例。
提出求球体积的方案：牟合方盖（立方体两个垂直内切圆柱相交的部分），球体积与牟合方盖体积之比为 \(\pi /4\)
发明割圆术。求 \(\pi\) 关键在求周长，用圆内接正多边形拟合，每次边数翻两倍，用勾股定理处理每一处翻倍的边长。第五次即可得到 3.14，这与阿基米德在结果和方法上是基本一致的。
后来祖冲之将其算至小数点后七位，在《隋书》中记载。同时解决了球体积计算问题。
祖冲之计算圆周率-密率：\(\frac{355}{113}\)
另一项成就是球体积的计算。
本人所著《缀术》遗失。
- 孙子定理
唐朝
经济文化繁荣，但是科技进步不大。
《孙子算经》“物不知数”—— 中国剩余定理
Question
求解同余方程：
《张丘建算经》“百鸡问题”—— 方程组
Question
百鸡问题即下列方程组的正整数解问题：
《缉古算经》：关于三次方程数值解及其应用的最古老的文献。
上面三书只有孙子算经得到了深究，秦九韶解决了孙子提出的“物不知数”问题。
宋元六大家¶
- 沈括和贾宪
《梦溪笔谈》：既是文学著作又是科学著作
沈括给出了数学史上第一个求高阶等差级数之和的例子（垒成棱台形状的酒桶的数目）
贾宪著作《黄帝九章算术细草》
最早提到二项式系数与“杨辉三角”
- 杨辉和秦九韶
南宋时期
杨辉：杭州人，为官期间，业余研究数学
成果之一为幻方，即每行每列加两条对角线，三数之和相等。
秦九韶
原来的“开方正负数”给出一般高次代数方程 $$ a_0x^{n-1} + a_1x^{n-2} + \ldots + a_{n-1}x + a_n = 0 $$ 的解的算法，系数可正可负，但是需要 \(n(n+1)/2\) 次乘法和 \(n\) 次加法。“秦九韶算法”通过不断提取 \(x\)，将乘法次数减少为 \(n\) 次：
秦九韶“大衍总数术”：孙子定理的严格表述
“大衍求一术”：讨论 \(ax \equiv 1(\mod m),\quad (a,m)=1\)
涉及辗转相除
欧拉定理：\(a^{\Phi(m)}x\equiv 1(\mod m),\quad (a,m)=1\)
是密码学中 RSA 密钥计算的原理
- 李冶和朱世杰
李冶，生于北京大兴，生逢宋灭元立。
天元术：用数学符号列方程
朱世杰：四元术（将天元术推广到最高四元高次联立方程组上）
还对高阶等差级数求和做了探讨，在沈括、杨辉工作基础上给出一系列更为复杂的三角垛计算公式，在牛顿之前给出了插值法的计算公式。
朱之后，元明清时期就再也没有杰出数学学者。
清朝：李善兰，但是已经落后西方太多，难以追赶
中国古代数学家没有亚历山大大学和图书馆那样的群体研究机构和资料信息中心，缺少媒介交流。
最大弱点是缺少严格求证的思想，归因于功利主义。
功利主义与历法¶
历法制定与农业生产紧密相关。
Chapter 4: 印度人和波斯人¶
Quote
“人们可以写一部印度历史，一直写到距今四百年而不提到一个‘海’字。”—— 赫伯特·乔治·韦尔斯
从印度到恒河¶
三条河流（印度河、恒河、雅鲁藏布-布拉马普特拉河）
宗教发展
印度最早数学文献：《吠陀》，有毕达哥拉斯定理和应用、矩形和相似图形的性质以及作图法。
- 《绳法经》和佛经
包含修筑祭坛的法则，衍生出几何问题，需要知道基本的几何知识和结论。
如：圆周率，近似值 \(3.0883\)；\(\sqrt{2}\) 的值（精确到小数点后 5 位）
- 零号和印度数码
巴克沙利手稿：记载公元前后数个世纪的数学，出现了完整的十进制数码，零用实心的点表示，8 世纪时才开始用圆圈表示 0。
从北印度到南印度¶
-
印度第一个数学家：阿耶波罗
-
圆周率计算 \(\pi = 3.1416\)
- 三角学-正弦函数
- 连续 \(n\) 个正整数的平方和和立方和计算公式
- “试位法”和“反演法”
此外，还提出日食和月食的推演，地球自转，但未得到后世响应。
- 婆罗摩笈多
提出零的运算法则
天文学著作
数学成果：
解不定方程（佩尔方程）
给出一元二次方程的一般求根公式（可惜漏了一个根）
圆内接四边形的面积公式： $$ s =\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},\quad p = (a+b+c+d)/2 $$
- 马哈维拉
零的运算，一元二次方程的解，利率计算，二项式系数，整数性质和排列组合。
花环数：两数相乘所得为回文
- 婆什迦罗
古印度最伟大的数学家、天文学家
两种证明毕达哥拉斯定理的方法
提出朴素的无穷大概念，用缩写文字和符号表示未知数和运算，熟练掌握三角函数和差化积，全面讨论了负数，广泛使用无理数。
婆什迦罗死后印度数学停止进展。
- 拉马努金
神赐的土地¶
- 阿拉伯帝国
两篇论文：由印度旅行家带来，一篇是天文学领域，另一篇是婆罗摩几多的论文，阿拉伯数字由此传入穆斯林。
- 巴格达的智慧宫
一个集图书馆、科学院和翻译局于一体的联合机构，这是公元前3世纪亚历山大图书馆建立以来最重要的学术机构。
- 花拉子密《代数学》
数学家、天文学家，出生在今天乌兹别克斯坦境内，早年游学，后来成为智慧宫的主要领导人之一。
著《代数学》、《印度的计算术》
求出了一元二次方程的两个根，最早认识到二次方程有两个根。
波斯的智者¶
- 伊斯法罕的海亚姆
通过两条圆锥曲线的交点确定三次方程的根。此外，在证明欧几里得第五公理（平行公理）做了有益贡献。
《鲁拜集》
- 大不里士的纳西尔丁
三部著作：
- 《算板与沙盘计算方法集成》：集成海亚姆的成果，将数的研究扩展到无理数
- 《令人满意的论著》：深入探讨平行公理，推导出罗巴切夫斯基几何的基本命题。
-
《横截线原理书》：最早的三角学著作，首次出现正弦定理
-
撒马尔罕的卡西
-
圆周率计算：16 位
- 计算 \(\sin 1^\circ\)
前翻译时代¶
在巴格达智慧宫，古印度、古希腊数学著作被译为阿拉伯文，完好保存几个世纪后，被欧洲学者译为拉丁文。
遗憾的是，与中世纪的中国文明和印度文明一样，波斯人也讲究实效，这注定他们的数学难以达到理论的高度和可持续性发展
Chapter 5: 从文艺复习到微积分的诞生¶
Quote
“我希望画家应当通晓全部艺术，但我首先希望他们精通几何学。”—— 莱昂·阿尔贝蒂
Quote
“他几乎以神一般的思维，最先说明了行星的运动和图像，彗星的轨迹和大海的潮汐。”—— 牛顿墓志铭
欧洲的文艺复兴¶
- 中世纪欧洲
中世纪也好，黑暗时代也好，除了黑死病的流行以外，主要是针对意大利人而言 。
欧洲文艺复兴主要是指在意大利发生。
但是数学家境况不算太糟，因为罗马教皇西尔维斯特二世（本名热尔贝）非常喜欢数学。
前文提到，前翻译时代发生在智慧宫。而后翻译时代是指在热尔贝的时代，希腊数学和科学的经典著作开始传入西欧。
从阿拉伯语译成拉丁语的途径比较丰富，如西班牙古城托莱多（主要），西西里岛，君士坦丁堡和巴格达的外交官。当年数学中心亚历山大城在洗劫后，著作荡然不存。
农业发展，豆类种植普及，人口增长，经济中心从地中海东部转移至西部。
- 斐波那契序列
政治人文氛围开放。
斐波那契，生于比萨，著《算经》，是中世纪欧洲最杰出的数学家。
《算经》介绍数的运算，采用 60 进制，引入了分割分子分母的横线。其中不乏商业应用题，也包含一些杂题如“兔子问题”（一对小兔开始，每对大兔每月生产一对小兔，小兔两个月变为大兔，一年后有多少兔子？）。
“兔子问题”可以抽象出斐波那契数列： $$ F_1=F_2=1, \qquad F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\quad(n \ge 3) $$
这个数列有一些性质：
- 奇奇偶排列
- \(F_{n+r}F_{n-r}-F_n^2=(-r)^2\)（特例：卡西尼性质 \(n=1\)）
通项公式（比内公式）：
可以用归纳或者生成函数证明。
黄金分割
皮萨罗周期： $$ F_{k+\pi(n)} \equiv F_k \mod n $$
卢卡斯定理：对任意正整数 \(m,n\)，
$$ (F_m,F_n)=F_{(m,n)} $$ 由此可以推出 \(F_m | F_n\) 当且仅当 \(m|n\)。若 \((m,n)=1\)，则 \(F_mF_n|F_{mn}\)。
希尔伯特第十问题也是用卢卡斯定理解决的。
齐肯多夫定理：每一个正整数均可唯一表成不相邻斐波那契数列之和。
这是因为每次可以贪心地选出最大可行的斐波那契数，并且能够证明先后两次选出的数必然是不相邻的。
在《平方数书》中提出：\(x^2+y^2\) 和 \(x^2-y^2\) 不能全是平方数。
- 阿尔贝蒂的透视学
“文艺复兴是数学精神的复兴。”
“文艺复兴人”/“全才”
在阿尔贝蒂之前还有建筑师布鲁内莱斯基，最早研究透视法。
阿尔贝蒂创立透视原理，其提出的“两个截景之间有什么数学关系”是射影几何学的出发点。
- 达·芬奇和丢勒
达·芬奇在 30 岁后开始钻研高等几何和算法，《最后的晚餐》和《蒙娜丽莎》分别是在中年和晚年。
达芬奇几何学的最重要成就是，给出了四面体的重心位置（底面三角形到对顶点连线四分之一处）
此外，他发现了“太阳是不动的”，可以说比哥白尼更早发现朴素的“日心说”。
同样在 15 世纪，在德国巴伐利亚的纽伦堡出现了艺术家阿尔布雷特·丢勒。
著作《圆规直尺测量法》，关于几何学，也提到了透视法。书中还谈到空间曲线及其在平面上的投影，还介绍了外摆线，甚至还考虑了曲线或人影在两个或三个垂直平面上的正交投影。
探讨空气阻力，设计第一台飞行器。
杜桑《长胡子的蒙娜丽莎》
丢勒：所有文艺复兴时期最懂数学的人。
《圆规直尺测量法》主要关于几何学，也提到了透视法，谈到外摆线，考虑了曲线的正交投影
版画《忧郁》中也研究了四阶幻方，但与杨辉给出的略有不同。
西方油画如梵高作品近大远小，符合透视原理；但中国画恰恰相反，可能是以肘部为圆心，向周围扩散。
微积分的兴起¶
文艺复兴时期，尽管艺术家对数学有独到见解，但数学的复兴乃至近代数学的兴起要等到 16 世纪。
新数学首先从代数学开始，如三角学从天文学中分离出来，透视法产生射影几何，三次和四次方程求解的突破和代数的符号化。
塔尔塔利亚：解出缺一次项或二次项的三次方程。
卡尔达诺向塔尔塔利亚请教，在著作《大术》中发表这个方法，尽管注明了是塔尔塔利亚发明，人们还是将其称为卡尔达诺公式。
具体方法为：考虑恒等式
选取适当的 \(a,b\) 使之满足
那么 \(a-b\) 就是方程 \(x^3+mx=n\) 的解，(2) 的解 \(a\) 和 \(b\) 也不难解出：
对于 \(m<0\) 的情形，塔尔塔利亚也给出了完整的解答，而缺一次项的情况可以转化为上面的情况。
《大术》还介绍了四次方程的一般解法，是卡尔达诺仆人费拉里的功劳。他找到了讲四次方程转化为三次方程的方法。此后，五次及以上代数方程的不可解性直到 19 世纪才被阿贝尔解决。
卡尔达诺不只是一位数学家，同时还是文学家，名医，还发明了万向节。
韦达
- 解析几何的诞生
法国数学家德扎尔格，提出了“无穷远点”，射影几何学赖以建立。
德扎尔格定理
假如平面或空间中两个三角形的对应顶点的连线共线，那么他们的对应边的延长线的交点共线。
德扎尔格只关心几何图形的相互关系，而不涉及度量，这也是几何学的一种新思想。
从本质上讲，近代数学就是关于变量的数学。文艺复兴以来经济发展，对科学技术提出全新要求，对运动和变化的研究成为中心问题。
变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明，将代数和几何联系在一起，使得几何问题可以归结为代数问题。
解析几何的基本思想是在平面中引入坐标，因此又称坐标几何。通过解析几何可以将形如 \(f(x,y)=0\) 的代数方程与平面上的曲线对应起来。
14 世纪法国数学家奥雷斯姆借用“经度”和“维度”，荷兰地理学家麦卡托利用经纬度绘制第一本地图册。
解析几何真正发明归功于笛卡尔和费尔马。他们最初建立的都是斜坐标系，只是把直角坐标系作为特殊情况，也提到了三维坐标系的可能。
除了笛卡尔坐标系之外，牛顿也建立了自己的坐标系——极坐标。有些图形如阿基米德螺线，双曲螺线，玫瑰线用极坐标更为简单。
- 微积分学的先驱
解析几何把变量引入了数学，为微积分学开辟道路，但真正起作用的还是函数概念的建立。
牛顿在自己的笔记“废书”中用流量（fluent）表示变量之间关系，而稍晚的德国数学家莱布尼兹首先使用“函数”（function），此后 \(f(x)\) 的记号是由瑞士数学家欧拉引入。
积分学的萌芽可以追溯到古代，在面积、体积的计算中不乏包含无限小的过程。芝诺悖论也体现了无限划分的思想。微分学方面，阿基米德和阿波罗尼奥斯分别讨论过螺线和圆锥曲线的切线。
天文学的进展：伽利略发明高倍望远镜后，通过观察证实了哥白尼日心说；开普勒用第谷的数据和更精确的数学推导证明了日心说。
开普勒三大定理
- 行星轨道是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上
- 太阳到行星的矢径在相等时间内扫过面积相等
- 行星公转周期的平方和轨道半长轴的立方成正比
开普勒还用微元法（用无数无限小的元素之和去确定曲边形的面积和旋转体的体积）找到旋转体的体积计算方法，将阿基米德的球体积公式做了推广。
- 牛顿和莱布尼兹
牛顿将微分学（“正流数术”）和积分学（“反流数术”）作为矛盾的对立面一起考虑并加以解决。
牛顿假定曲线下方面积为 \(z=ax^n\)，给定 \(x\) 的无限小增量 \(o\)，由 \(x\)，\(y\)，\(x+o\) 处纵坐标和曲线围成的面积为 \(z+oz\)，则：
$$ z+oz=a(x+o)^n, $$ 利用他发明的二项展开，然后与原面积式相减，略去仍含有 \(o\) 的无限小项，得到：
$$ y=nax^{n-1} $$ 莱布尼茨则是从几何学的角度出发。确切地说，他最初（1673）是从帕斯卡尔的一篇谈论圆的论文获得灵感，在任意曲线上作一个特征小三角形（斜边与切线平行），再利用相似三角形的边长比例关系推导出来。
莱布尼兹在观察平方数序列时发现，求和与求差互逆。此后从离散的差值过渡到任意函数的差值，1675 年引进了积分号 \(\int\)。
为了求出纵坐标为 y的曲线下的面积，只需求出一条纵坐标为z的曲线，使其切线的斜率为 \(\mathrm{d}z/\mathrm{d}x=y\)。如果是在区间 \([a,b]\) 上，由 \([0,b]\) 上的面积减去 \([0,a]\) 上的面积，即得到微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）：
微积分基本定理
除此之外，莱布尼兹还创立了行列式，并把二项式定理推广到任意变量上；他发现了圆周率的无穷级数表达式：
$$ \frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\ldots $$ 自此关于圆周率的精确计算的认为竞争便永远结束了。
莱布尼兹还发明了二进制，接着改进了帕斯卡尔加法器，制造出第一台可进行乘除和开方的机械计算机。
Chapter 6: 分析时代和法国大革命¶
Quote
“自然科学的发展，取决于其方法和内容与数学相结合的程度，数学成了打开知识大门的金钥匙，成了‘科学的皇后’。”—— 伊曼努尔·康德
分析时代¶
对于在科学领域走在前列的西欧诸强，17-18 世纪有一个相对平稳的过渡。
德国普鲁士科学院在柏林成立，莱布尼茨出任院长。其他科学院如康熙
微积分诞生之前，以欧氏几何为核心的几何学在数学中占据重要地位。分析综合了几何和代数，在艺术领域也有所谓综合艺术。
会话（空间艺术）——几何 音乐（时间艺术）——代数 戏剧（综合艺术）——分析
戏剧的黄金时代：法国 17 世纪，意大利，德国 18 世纪
- 微积分学发展
微积分在建立不久后进一步发展。
Newton 之后，英国数学家在幂级数展开式研究中取得重要成就，其中泰勒（B.Taylor）得出了今天被称为“泰勒公式”的重要结果： $$ f(x)=f(x)+hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x)+\ldots $$ 可惜 Taylor 对这个公式敛散性的证明并不严谨。
Taylor 级数中 \(x=0\) 的特例也叫 Maclaurin 级数，由麦克劳林（C.Maclaurin）在更晚一些提出。
在 Taylor 和 Maclaurin 去世后，英国数学进入低迷状态，微积分发明权之争滋长了民族狭隘意识和保守心态，导致长期无法摆脱 Newton 学说中的弱点束缚。相比之下，欧洲其他各国的数学下在 Leibniz 的思想下取得丰硕成果。
- 小国瑞士与 Bernoulli 家族
18 世纪，瑞士出现了好几位重要数学家，如著名的伯努利家族。
雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）是这个家族第一位数学家，自学 Leibniz 微积分，任教巴塞尔大学。Jacob 首先使用“积分”（Integral）这个词。其研究成果包括排列组合理论、概率论中的大数定律、导出指数级数的 Bernoulli 数以及变分法原理。
其中 Bernoulli 数在数论中有着重要地位，可由如下递推生成：
约翰·伯努利（Johann Bernoulli）是 Jacob 小十岁的弟弟，首先将函数概念公式化，同时引进了变量代换、部分分式展开等积分技巧。著名的 L'Hôpital 法则是他发现的，后来交易给学生洛必达（L'Hôpital）。
Bernoulli 家族的第二代和第三代都投入到数学研究，其中以丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）最为出色。他是 Euler 的竞争对手，在包括微积分学、微分方程、概率论在内的诸多数学领域做出贡献；流体动力学中的 Bernoulli 原理也是出自 Daniel Bernoulli。
- 欧拉
约翰伯努利在巴塞尔大学的学生欧拉（L.Euler）对微积分各个部分都做了精细的研究。
Euler 把函数定义为一个变量和一些常量通过某种形式形成的解析表达式，概括了多项式、幂级数、指数、对数、三角函数乃至多元函数。还把函数的代数运算分为包含四则运算的有理运算和包含开方的无理运算。
Euler 定义了对数的极限： $$ \ln x=\lim_{n\to \infty} \frac{x^{1/n}-1}{1/n}, $$ 同时还给出了指数的极限： $$ e^x=\lim_{n\to \infty}(1+\frac{x}{n})^n, $$ 其中字母 \(e\) 就是取自 Euler。
此外，Euler 还区分了显隐函数，单值多值函数，定义了连续函数（等同于今天的解析函数），超越函数和代数函数，考虑了函数的幂级数展开式。
由此可见，Euler 是一个非常高产的数学家。
Quote
“凡是我们头脑能够理解的，彼此都是相互关联的。”—— Euler
- 微积分学的影响
微积分在自身不断发展、严格、完善、多元化以及函数概念深化的同时，还迅速运用在其他领域特别是力学（80 年代前中国大学的数学系还叫数学力学系）。
新兴分支：ode，pde，变分法（起源：狄多女王），微分几何和代数方程论等
ode 中最著名的悬链线问题由雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）提出，Leibniz 命名，Johann Bernoulli 建立： $$ y=c\cosh \frac{x}{c} $$
ode 经历了从一阶到高阶常系数，再到高阶变系数的过程，最后由 Euler 和 Lagrange 加以完善，特别地，Euler 还区分了“通解”和“特解”。
pde 出现的晚一些，1747 年由法国数学家达朗贝尔（Jean le Rond d'Alembert）首先研究。
另一位对 pde 做出重要贡献的是法国数学家拉普拉斯（Pierre-Simon, marquis de Laplace），他提出了 Laplace 方程：
其中 \(V\) 是位势函数。
变分法源于一个简单问题：最速降线。约翰·伯努利公开征解，牛顿（匿名参加）、莱布尼茨和雅各布·伯努利均参与其中，最后归结为一类特殊函数的极值问题。
以上诸分支的建立加上微积分的主体，形成了“分析”领域。同时微积分也被应用于几何和代数研究，最先成功的是微分几何领域。
微积分的诞生以及它与其他自然科学领域发生的联系激发了思考者的热情，他们努力尝试把这种信任扩大到整个知识领域。Descartes 认为，一切问题都可以归结为数学问题，一切数学问题都可以归结为代数问题，一切代数问题都可以归结为解方程问题。与 Descartes 类似，Leibniz 试图用数学解决所有问题，虽然难以实现，但其逻辑学的部分还是在后世发展起来，Leibniz 也因此被称为“数理逻辑之父”。
- 宗教方面影响
宗教和上帝地位下降
法国启蒙运动中新兴自然神论，由伏尔泰（Voltaire）支持，主张将理性和自然的等同，将 Newton《原理》当作圣经，当时颇为流行，其他知名推崇者有托马斯·杰斐逊（Thomas Jefferson）和本杰明·富兰克林（Benjamin Franklin）。
法国大革命¶
- 拿破仑
拿破仑（Napoléon Bonaparte）是 Lagrange 和 Laplace 的学生和朋友。在法国大革命的危机时刻，将保王党的夺权阴谋粉碎。此后，新成立的巴黎综合理工学院和法兰西学院，以及巴黎高等师范学院取代了原先古老的巴黎大学和法兰西科学院。这几所新学校都将数学放在重要位置，邀请了当时法国最有名的数学家 Lagrange，Laplace，勒让德（Legendre），蒙日（Gaspard Monge）。
拿破仑早年有着不错的数学功底，同时与数学家交往密切，使得他能够提出这样一个几何问题：只用圆规将一个圆周四等分。这个问题最终由受困巴黎的意大利数学家马斯凯罗尼（L.Mascheroni）解决。
- 拉格朗日
拉格朗日（J.L.Lagrange）与 Euler 被公认为 18 世纪最伟大的两位数学家。
Lagrange 出生在意大利北部都灵，最初兴趣在古典文学，后来偶然接触到微积分后，在极短时间内自学了当时的全部分析知识。据说，Lagrange 19 岁时就被任命为数学教授，25 岁时就步入世界最伟大数学家之列了。
Lagrange 一开始是一位分析学家，著《分析力学》。Lagrange 首先引入了 \(f(x),f'(x)\) 等符号，还提出了 Lagrange 中值定理：
Theorem
如果函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 连续，在开区间 \((a,b)\) 可导，则必然存在 \(a < \zeta < b\) 使得： $$ f'(\zeta)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$
此外，他还用连分数给出了求方程近似值的方法，并致力于用幂级数表示任意函数。
法国大革命之后，Lagrange 受邀在巴黎高师任教。拿破仑称赞他：“Lagrange 是数学科学领域中高耸的金字塔。”
- 法兰西的牛顿：Laplace
拉普拉斯（P.S.Laplace）的学术生涯均匀地分布在两个世纪，但 18 世纪有 Euler 和 Lagrange，19 世纪有 Gauss，因此难以获得“某世纪最杰出”之类的称号。
Laplace 在纯数学方面花费精力不多，取得成就较少，基本上是为了满足天文学研究的需要。
行列式多行展开的 Laplace 定理
Laplace 变换：
Laplace 最著名的是五本《天体力学》，赢得了“法兰西的牛顿”的称号。
- 蒙日（Monge）：皇帝的密友
Lagrange 和 Laplace 和 拿破仑充其量只是君臣，而 Monge 被当作心腹。巴黎综合理工学院创立后任职为第一任校长。
Monge 创立几何画法；首先将微积分应用于曲线和曲面研究，出版微分几何方面第一本著作；极大推进空间曲面和曲线理论的发展，与微分方程紧密结合。
Monge 给出的可展曲面的一般形式
除垂直于 \(xOy\) 平面的柱面以外，这类曲面均满足：
为何数学大师在法国层出不穷（对照slides）¶
“我们最优秀的人学习数学。” “数学是我们传统文化中最优秀的部分。”
- 笛卡尔以前的法国数学
意大利：解方程的三位+斐波那契 德国：莱布尼茨之后开始 法国：笛卡尔
14 世纪黑死病流行，数学上成就非常可怜
奥雷斯姆：写过 5部数学书，和他的译文一样文笔优美，为科学修辞和法国散文作出了贡献。奥雷斯姆第一个使用了分数指数，第一个用坐标确定了点的位置，这预示了现代坐标几何学，影响了包括笛卡尔在内的诸多数学家。
邱凯：率先考虑了负整数的指数，他的著作《算术三编》讨论了有理数、无理数的计算和方程论。
均值法则：若 \(A,B,C,D\) 是正数，则 \((A+B)/(C+D)\) 处于 \(A/C\) 和 \(B/D\) 之间。
韦达： 一元二次方程根和系数的关系被称为韦达定理，三角学中的半角公式，他还第一个提出代数系统符号化。
韦达倡导用辅音字母表示已知数，元音字母表示未知数。后来被笛卡尔的想法所取代，后者用拉丁字母的开头几个 \((a, b, c)\) 表示已知数，尾末几个 \((x, y, z)\) 表示未知数 。
- 笛卡尔和天才的世纪（17 世纪）
笛卡尔之前，意大利人在最前列，到 17 世纪，出现德扎尔格、笛卡尔、费马、帕斯卡尔，法国全面超越意大利。
德扎尔格建立射影几何，笛卡尔建立解析几何。
笛卡尔与坐标系
多面体的欧拉-笛卡尔公式： $$ V-E+F=2, $$ 其中 \(V\) 是顶点数，\(E\) 是边数，\(F\) 是区域数。
完美数和友好数问题：前文已经提及
笛卡尔“我思故我在”——二元论，同时还是一位怀疑主义者。
笛卡尔认为亚里士多德的三段论不能发现新的结论，只能进行推导。
笛卡尔生前常常受到费马的挑战，有些通过梅森神甫传达。
梅森素数
- 帕斯卡尔父子
老帕斯卡尔：业余研究数学，发现帕斯卡尔螺线。
父子参加梅森神甫的沙龙：成为法国科学院的雏形
小帕斯卡尔（帕斯卡尔）：创立概率论，二项式系数和射影几何学，射影几何学中的帕斯卡尔定理（圆锥曲线的内接六边形三组对边的交点共线）
发明计算机，流体压强定律
帕斯卡尔和笛卡尔都创作到了晚年
从费尔马到庞加莱（对照slides）¶
- 费马
“业余数学家之王”
笛卡尔坐标系建立之后，用代数方法研究几何学的桥梁建立起来，原本作为附庸的代数学面貌得以改观。但是，当时代数学的工作重心仍然在解方程问题，真正革命性的变革要等到 19 世纪。
率先有所突破的领域就是数论（专注于自然数或整数的性质及其相互关系，游走于代数宅院前后的古老分支），其进展主要是因为数学业余爱好者皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）的工作。
他原本是一位文职人员，在晚上和假日埋头研究数学，尤其对数论问题非常中意，在数论领域提出了很多命题和猜想。
Fermat 证明的完整的结论不多，包括：
发现 1：只有模四余一的素数能表示为两个整数的平方和，且这种表示唯一
Example
发现 2：任何模四余一的素数作为三角形斜边的表示唯一，其平方作为三角形斜边有两种表示，立方作为斜边有三种表示
Example
更多时候，Fermat 只是给出定理的结论而不给出证明：
- 整数边长的直角三角形的面积不会是某一个整数的平方
- 每个自然数可以表示为不多于 4 个平方数之和
这两个命题后来均被 Lagrange 证明。
Fermat 的诸多猜测有：
Fermat 素数
形如
的均为素数（“Fermat 数”）。
实际上，这个结论只有在 \(0 \le n \le 4\) 时成立，欧拉发现 \(F_5\) 和 \(F_6\) 均不是素数。
Fermat 小定理
对任意与素数 \(p\) 互素的整数 \(a\)，\(a^{p-1}-1\) 均可被 \(p\) 整除。
在 100 年后，欧拉给出了这个命题的证明，并将其推广到任意正整数情形，引进欧拉函数 \(\Phi(n)\) ，提出了欧拉定理。
Fermat 大定理
讨论了
的正整数解问题，Fermat 认为在 \(n \ge 3\) 时无正整数解。
欧拉不完整地证明了 \(n=3\) 的情形，而 \(n=4\) 的情形由 Fermat 本人给出。此后 300 年间，有许多数学家做出了贡献，直到 20 世纪末，该定理才被英国数学家怀尔斯（Andrew Wiles）给出了最后的证明。
在数论之外，Fermat 还有许多重要贡献，如光学上的 Fermat 定理（两点之间光沿时间最短的路径传播，可推导出光在真空中沿直线传播），独立于 Descartes 发现解析几何基本原理，发明求曲线的极大极小值方法，与 Pascal 通信创立概率论。
- 达朗贝尔
- 拉格朗日
- 拉普拉斯
- 蒙日
- 大学
- 庞塞列：独创了圆锥曲线的中心投影法
- 柯西
- 伽罗瓦
- 庞加莱：通晓全部数学与应用数学知识的最后一个人。
庞加莱猜想：任意三维的单连通闭流形必与三维球面同胚
- 布尔巴基学派
南锡，《数学原理》。这帮年轻人不计较个 人名利，在相当长的时间里，只用布尔巴基这个笔名发表数学论文，韦伊、嘉当。他们引进了数学结构的概念，主要考虑一些对象的集合，而非具体的形、数、函数或运算，这一思想构成了现代数学的核心。
可以说，正是笛卡尔以降法国数学的人文主义传统，使得数学在法国长盛不衰。
- 中国
限于实用性的计算而忽视公理化建设和理论推导。近代以来，由于缺乏对外交流，中国和整个东方数学未跟上时代的脚步。等到国门重开，终于意识到自己的落后，摆在我们面前的困难重重。
Chapter 7: 现代数学与现代艺术¶
Quote
“从虚无之中，我开创了一个新的世界。”—— J. 鲍耶
Quote
“你给我泥土，我能把它变成黄金。”—— 夏尔·波德莱尔
回顾：古典数学¶
- 《雅典学派》
- 柏拉图、亚里士多德、芝诺、欧几里得（？）
- 毕达哥拉斯
- ....
代数学的新生¶
- 分析的严格化
直到爱伦·坡和波德莱尔、非欧几何学和非交换代数的问世，以《诗学》和《原本》为准则并延续两千多年的古典时代走向终结。
19 世纪最主要的数学家是柯西（Augustin-Louis Cauchy）。Cauchy 幼年就与 Laplace 和 Lagrange 接触，后来立志成为军事工程师，但拿破仑垮台宣告梦想破灭。27 岁，受聘成为巴黎综合理工学院的数学和力学教授，替补蒙日成为法兰西科学院院士。
柯西在分析方面的成果大都写入了巴黎综合理工学院的讲义，以严格化为目的，内容包括变量、函数、极限、连续、导数和微分等基本概念，如首先将导数定义为差商
在 \(\Delta x \to 0\) 的极限，并将函数的微分定义为 \(\mathrm{d}y=f'(x)\mathrm{d}x\)。
Cauchy 还建立了 Cauchy 收敛准则，Cauchy 中值定理，微积分基本定理。
Cauchy 的这些许多定义和论述上基本已经是微积分的现代形式，这是向分析严格化迈出的重要一步。
- 魏尔斯特拉斯（Weierstrass）
然而法国的分析研究方面在 Cauchy 之后后继无人，而德国的 Weierstrass 接过了棒，接着在分析领域做出贡献。他举出了一个处处连续但处处不可微的函数，震惊学界：
$$ f(x)=\sum_{n=0}^\infty b^n \cos(a^n\pi x) $$ 此处 \(a\) 为奇数，\(b\in (0,1)\)，\(ab>1+\frac{3}{2}\pi\)。
之后， 创立了 \(\varepsilon-\delta\) 语言。
- 阿贝尔和伽罗华
挪威人阿贝尔（Niels Henrik Abel）在进入奥斯陆大学后第三年，发表了《论一般五次代数方程之不可解性》，然而许多法国数学家都漠视了他的工作。
游历归来，Abel 已经染上肺结核，贫寒交迫，不久就去世了。Abel 死后，数学界开始认识到他的成就，不止是五次方程不可解，Abel 定理奠定了代数函数的积分理论和 Abel 函数方程的研究，Abel 方程群大大推进了椭圆函数的研究。
Abel 在否定五次及以上的方程不可解的同时，还考虑了特殊的、能用根式求解的方程，其中一类是 Abel 方程。在这个工作中实际上引进了抽象代数中域的概念。
法国数学家伽罗华（Évariste Galois）对抽象代数领域做出了重要概念，提出了“群”的概念。他还用“群”的概念解决上述 Abel 对五次及以上特殊可解方程思考。除此之外，Galois 引入了子群，正规子群，整数环，有理数域的概念，创立了置换群论。
第一个群：
其他：伽罗华群、可解群、Lagrange 定理（凡有限群，其子群的阶数（元素个数）必整除群的阶数）、伽罗华理论
在几何学方面，Galois 证明了当且仅当对形如 \(p=2^{2^k}-1\) 的素数 \(p\)，能用尺规做出正 p 边形。Galois 解决了古代三大作图问题中的“不能任意三等分角“和“倍立方不可能”。
阿贝尔和伽罗华等人的工作迫使代数学家把注意力从解方程中解放出来，把更多的精力投入到数学内部的发展和革新。
- 哈密尔顿
代数学领域接下来的重大发现是爱尔兰数学家哈密尔顿（Hamilton）提出的四元数。
Hamilton 在少年时期通过自学掌握了解析几何和微积分，阅读《原理》和《天体力学》。
Hamilton 生前以物理学家和天文学家闻名，但投入精力最多且最为倾心的是数学。在 Gauss 提出复数的几何表示后，数学家开始注意到复数可以用于研究平面上的向量，但在复数的三维形式上遇到困难，因为无法进行对应运算。
Hamilton 第一个指出使用加法将实部和虚部联系是历史的偶然，并发现上文所需要的新数需要四个变量，后世称为四元数。
几何学的变革¶
- 几何学的家丑
几何学的历史沉淀更深厚，变革更为不易，古希腊 Euclid 的地位一直不可动摇，但是其第五公设是不简单明了的，被 Lagrange 戏称为”家丑“。
第五公设
如果同一平面上的一条直线同另外两条直线相交，同一侧的两个内角之和小于两个直角，则如果两条直线无限延长，它们必在一侧相交。
另一种等价公设的尝试表述：
普莱费尔公理
过已知直线外一点，能且仅能作一条直线与该已知之前平行。
后来，一位德国数学家对第五公设能否由其他公设或公理加以证明作出怀疑，另一位瑞士数学家有类似的见解，但这两位最终都退缩了，不过仍是非欧几何的先驱。
- 非欧几何学的诞生
高斯、鲍耶、罗巴切夫斯基三位数学家都是从普莱费尔公理出发，判定多于一条，只有一条，没有这三种情况，建立起新的几何学，Gauss 将其命名为“非欧几何学”。
鲍耶出生于现罗马尼亚，少年时代学习了微积分和分析力学，考入维也纳皇家理工学院后迷恋数学尤其是非欧几何学的研究。可惜其研究没有引起过多反响，一些研究成果 Gauss 在多年前早已提出，俄国的罗巴切夫斯基也宣告创立新的几何学，鲍耶只好在文学写作中寻求安慰，也没有成功。
罗巴切夫斯基最先发表非欧几何学的概念，但是其在非欧几何学上的工作未能得到承认，因为俄国较为落后，没有出现过一位数学家，其论文《几何学原理》被俄罗斯科学院否定。后来当上校长之后，其研究成果《论几何基础》发表，其思想才慢慢传入西欧。
高斯出生于德国中北部农民家庭，早慧，在快 19 岁时才决定全身心投入数学领域。24 岁出版《算术研究》，开创现代数论。Gauss 最爱数论，称其为“数学的皇后”。
Quote
“任何一个下过一点儿功夫研习数论的人，都必然会感受到一种特别的激情和狂热。”—— Gauss
Gauss 生前没有发表关于非欧几何的任何成果。
- 黎曼几何学
德国数学家黎曼（B. Riemann）发展了其他人的思想，引入了流形曲率，建立起更广泛的几何，即 Riemann 几何，罗巴切夫斯基几何和欧氏几何都是 Riemann 几何的特例。
一个无法过直线外一点做平行线的例子：
Example
考虑球面，大圆（中心与球心重合的圆周）为直线，线外点为对应极点（如北极点）。
上面例子也可以发现三角形内角和大于 180 度。
Riemann-\(\zeta\) 函数：\(\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}\)
Riemann 猜想：Riemann-\(\zeta\) 函数的零点问题，Riemann 猜想所有非平凡零点均落在 \(x=\frac{1}{2}\) 这条垂线上。
艺术的新纪元¶
笔者的话
太史公曰（bushi）：“这部分没看出跟数学史有什么太大关系。。。。。随便记点应付考试。”
- 爱伦·坡：现代主义文学之父
出生于波士顿。
幼年父亲出走，母亲病逝。对同学母亲的畸形的爱催生了他后来“寻求由美丽女性体现的那种理想”的诗歌主题。
“当死亡和美结成最亲密的联盟时，这是世上最富有诗意的题材。”
爱伦·坡认为超验主义者写不出好诗，还提倡一首好诗的长度不应该超过 50 行。他认为艺术作品应该独立存在，而不是用来培养道德情操或有节奏地讲述故事的工具。
代表作《乌鸦》
爱伦·坡的因为他创作的短篇小说被称为侦探小说的鼻祖。
数学和诗歌的区别：数学是发现，而诗歌是创造。诗人需要摧毁、推倒他人创造的东西，而数学家在旧的建筑上再建一层。
- 波德莱尔
出生于巴黎。6 岁时父亲去世，但父亲生前教导其欣赏线条美和形式美。
恋母情结是一生创作的动力（萨特语）。
15 岁阅读雨果、圣伯夫、戈蒂耶等法国诗人和批评家的作品，向他们学习写诗。
19 岁是结实妓女萨拉，开始过上放荡生活。
1841 年被继父由波尔多带往加尔各答。写于海上的《信天翁》中包含着不为世人理解的孤独感。自此下定决心成为诗人，返回祖国。
21 岁后继承了父亲留下的大笔财产，仍过着放荡不羁的生活。之后读到爱伦·坡的作品，成为坡的忠实阅读者和翻译者。
出版诗集《恶之花》，当时被批评为“有伤风化”，但在后世被公认为法国象征主义诗歌的鼻祖和现代主义诗歌的先驱。
认为“在恶中提取（内在的）美”是快乐的，他的诗歌表达了现代人的忧郁和苦恼，现代性表现在诗歌内容而非形式。他开创了诗歌的新时代，用最适合表现内心隐秘和真实情感的艺术手法，独特而充分地展现了自己的思想和精神境界。
诗歌的现代性或现代主义的开启与现代数学尤其是非欧几何学非常相似。坡和波德莱尔结束了浪漫主义诗人的绝对统治。
- 从模仿到机智
亚里士多德：“模仿是艺术的起源之一。”
绘画问题：把空间中的物体表现在平面上。
没影点的出现成为绘画史上的转折点。之后直线透视法和空气透视法统治欧洲长达 4 世纪。
无论现实主义还是浪漫主义，都摆脱不开对人类生活经验的仿制。
仿制具有天然局限，是低级的创作。机智是高级形式。
机智是事物之间相似之处的快速联想。
特征在于深入到事物的隐蔽的深处，拣出显著的情况或关系。
夏加尔《提琴和少女》；毕加索；马格里特《欧几里得漫步处》
Chapter 8: 抽象化：20 世纪以来¶
Quote
“数是各类艺术最终抽象的表现。”—— 瓦西里·康定斯基
Quote
“哲学一定有某种用处，我们务必要认真对待。”—— 弗兰克·拉姆齐
走向抽象化¶
- 集合论和公理化
集合论（新的领域），公理化（方法论）
分支众多，结构庞杂