泛函分析¶

About The Course¶

教材：王声望《实变函数与泛函分析概要》第五版第二册（从第六章开始）

成绩组成¶

平时：50%
- 作业+点名：30%
- 小测：20%
期末：50%

Chapter 6: 距离空间¶

6.1: 距离空间的基本概念¶

6.1.1: 距离空间的定义及例¶

距离需要满足的三个条件（距离公理）：

非负性
对称性
三角不等式
子空间与真子空间
离散的距离空间：$$\forall y\in X,\rho(x,y) = \begin{cases} 1,\quad y\ne x \ 0, \quad y=x \ \end{cases} $$

例 1 $n$ 维欧氏空间 $\mathbb{R}^n$

关键在于验证三角不等式。先证明 Cauchy 不等式：$$\left(\sum_{k=1}^na_kb_k\right)^2 \le \sum_{k=1}a_k^2\cdot \sum_{k=1}^n b_k^2$$

任取实数 $\lambda$，则 $$\sum_{k=1}^n\left(a_k+\lambda b_k\right)^2 \ge 0$$，展开并对 $\lambda$ 使用判别式即得证。

由此下式成立（展开左边，用 Cauchy 不等式放缩中间项即可）：$$\sum_{k=1}^n \left(a_k+b_k\right)^2 \le \left[\left(\sum_{k=1}^n a_k^2\right)^n b_k}{2}}+\left(\sum_{k=1^2\right)\right]^2 $$}{2}

对 $a_k, b_k$ 进行合适的变量替换即证得三角不等式。

$\mathbb{R}^n$ 中还可以这样定义距离：$$\rho_1(x,y) = \max_{1\le k\le n}\left|\xi_k-\eta_k\right|$$ 如果取不到 $\max$，也可写为 $\sup$。

例 2：空间 $C\left[a,b\right]$

三角不等式由数的绝对值三角不等式得出。

例 5：空间 $l^p\text{(} 1\le p < \infty \text{)}$

$l^p$ 空间由数列 $x = \left\{\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n,\cdots\right\}$ 构成，其中：$$\sum_{n=1}^\infty\ |\ \xi_n\ |^p <\infty.$$

然后需要用到下面不等式：$$u^\alpha v^\beta \le \alpha u + \beta v \text{ ( }u\text{, }v\ge0 \text{, }\alpha+\beta =1\text{ )}$$ 上式利用函数 $x^\alpha$ 凹凸性得到 $(1,1)$ 点处切线的位置关系后立得。

取 $$\alpha=\frac{1}{p},\quad \beta=\frac{1}{q},\quad u = \frac{\ |\ \xi_n\ |^p}{\sum_{k=1}^\infty\ |\ \xi_k\ |^p},\quad v = \frac{|\ \eta_n\ |^q}{\sum_{k=1}^\infty\ |\ \eta_k\ |^q}.$$

代入上面不等式，然后对 $n$ 求和得到 H&oumllder 不等式：$$\sum_{n=1}^\infty\ |\ \xi_n\eta_n\ | \le \left(\sum_{n=1}^\infty\ |\ \xi_n\ |^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{n=1}^\infty\ |\ \eta_n\ |^q\right)^{\frac{1}{q}}.$$

为了进一步证明 Minkowski 不等式，需要说明 $a+b$ 含于 $l^p$，这通过绝对值三角不等式可以放缩出来。因此，$\left\{|\ \xi_1+\eta_1\ |^\frac{p}{q},|\ \xi_2+\eta_2\ |^\frac{p}{q},\cdots, |\ \xi_n+\eta_n\ |^\frac{p}{q},\cdots \right\}$ 含于 $l^q$。由 H&oumllder 不等式，有 $$

\begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty | \xi_n | | \xi_n+\eta_n |^\frac{p}{q} \le \left(\sum_{n=1}^{\infty | \xi_n |}p\right)\left(\sum_{n=1}^{\infty | \xi_n+\eta_n |}p\right)^\frac{1}{q}; \ \sum_{n=1}^\infty | \eta_n | | \xi_n+\eta_n |^\frac{p}{q} \le \left(\sum_{n=1}^{\infty | \xi_n |}p\right)\left(\sum_{n=1}^{\infty | \xi_n+\eta_n |}p\right)^\frac{1}{q}. \ \end{aligned}$$

于是有（将左边拆一个因子出来，使用上面推论放缩）：$$\sum_{n=1}^\infty \ |\ \xi_n+\eta_n\ |^p \le \left[\left(\sum_{n=1}^\infty \ |\ \xi_n\ |^p\right)^{1/p}+\left(\sum_{n=1}^\infty\ |\ \eta_n\ |^p\right)^{1/p}\right] \left(\sum_{n=1}^\infty \ |\ \xi_n+\eta_n\ |^p\right)^{1/q}$$

将最右边的因子除到左边即得 Minkowski 不等式：$$\left(\sum_{n=1}^\infty \ |\ \xi_n+\eta_n\ |^p\right)^{1/p} \le \left(\sum_{n=1}^\infty \ |\ \xi_n\ |^p\right)^{1/p}+\left(\sum_{n=1}^\infty\ |\ \eta_n\ |^p\right)^{1/p}.$$

变量代换证得三角不等式。

例 6：空间 $l^\infty$

由一切有界数列构成的集合。可令距离定义为：$$\rho(x,y) = \sup_{1\le n< \infty}\ |\ \xi_n-\eta_n\ |.$$

例 3：空间 $L^p(F)$

定义在可测集上的函数组成的集合，且 $\int_F\ |\ f(t)\ |^p\ \mathrm{d}t <\infty.$

令距离定义为：$$\rho(x,y) = \left(\int_F \ |\ x(t) - y(t)\ |^p\ \mathrm{d}t\right)^{1/p}.$$

与 $l^p$ 空间相比，同样有积分版本的 H&oumllder 不等式和 Minkowski 不等式，然后用 $u^\alpha v^\beta \le \alpha u+\beta v$ 即可证明三角不等式。

问题在于，这样 $\rho=0$ 只能保证 $x$ 和 $y$ 在除了某零测集上几乎处处相等而不是完全相等。这样定义的距离需要将几乎处处相等的两个函数视为同一个，即取等价类。

例 4：空间 $L^\infty(F)$

定义：本性有界

对可测集 $F$，存在其某个零测子集 $F_0$，使得可测函数 $x(\cdot)$ 在 $F\setminus F_0$ 上有界，则 $x(\cdot)$ 本性有界。

$F$ 上所有本性有界可测函数构成的集合。由本性有界，空间中几乎处处相等的两个函数可视为同一个。定义距离：$$

\begin{aligned} \rho(x,y) & = \inf_{ \begin{aligned} m(F_0)=0 \ F_0 \subset F \ \end{aligned}} \left{\sup_{t \in F \setminus F_0} | x(t)-y(t) |\right} \ & = \operatorname*{ess\,sup}_{t \in F} | x(t)-y(t) |.\ \end{aligned} $$